MATERI  AJAR 

Persamaan kuadrat juga merupakan salah satu topik penting dalam aljabar yang memiliki peran sentral dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Artikel ini dirancang untuk memberikan pemahaman yang komprehensif tentang persamaan kuadrat, mulai dari bentuk umum, cara menyelesaikannya, hingga penerapannya dalam pemecahan masalah. Setelah mempelajari modul ini, diharapkan peserta dapat:

1. Mendefinisikan persamaan kuadrat dan mengidentifikasi komponen-komponennya.

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai metode.

3. Menganalisis sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat.

4. Menerapkan persamaan kuadrat dalam pemecahan masalah nyata.

A. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya adalah 2. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut:

ax² + bx + c = 0

di mana:

• a, b, dan c adalah konstanta (bilangan tetap)

• x adalah variabel

• a ≠ 0 (jika a = 0, maka persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat)

Mengapa disebut kuadrat? Karena suku dengan pangkat tertinggi adalah x², yang merupakan hasil kali x dengan dirinya sendiri  (x kuadrat).

Komponen-Komponen Persamaan Kuadrat

• a: Koefisien dari x². Koefisien ini menentukan bentuk parabola yang dihasilkan ketika persamaan kuadrat digambarkan dalam grafik.

• b: Koefisien dari x. Koefisien ini juga mempengaruhi bentuk parabola, terutama pergeseran parabola secara horizontal.

• c: Konstanta. Nilai c menunjukkan titik potong grafik persamaan kuadrat dengan sumbu-y.

Contoh Persamaan Kuadrat

• 2x² + 5x - 3 = 0

• -x² + 4x = 0

• x² - 9 = 0

• x² = 0

Dalam contoh di atas:

• Pada persamaan pertama, a = 2, b = 5, dan c = -3.

• Pada persamaan kedua, a = -1, b = 4, dan c = 0.

• Pada persamaan ketiga, a = 1, b = 0, dan c = -9.

• Pada persamaan keempat, a = 1, b = 0, dan c = 0.

B. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 

Berikut adalah beberapa bentuk pemfaktoran yang umum:

1. Faktorisasi dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB):

   • Mencari faktor terbesar yang sama dari semua suku dalam suatu bentuk aljabar.

   • Contoh: 2x² + 4xy = 2x(x + 2y)

2. Bentuk Kuadrat Sempurna:
   Mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk (a + b)² atau (a - b)².

   • Contoh: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

3. Selisih Dua Kuadrat:

   • Mengubah bentuk a² - b² menjadi (a + b)(a - b).

   • Contoh: x² - 16 = (x + 4)(x - 4)

4. Jumlah atau Selisih Dua Kubus:

   • Mengubah bentuk a³ + b³ menjadi (a + b)(a² - ab + b²) atau a³ - b³ menjadi (a - b)(a² + ab + b²).

   • Contoh: x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)

5. Menggunakan Rumus abc:

   • Untuk bentuk umum ax² + bx + c, mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac dan jika dijumlahkan menghasilkan b.

   • Contoh: 2x² + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)

6. Pengelompokan:

   • Mengelompokkan suku-suku dalam bentuk aljabar menjadi dua atau lebih kelompok, lalu mencari faktor persekutuan dari setiap kelompok.

   • Contoh: xy + 2x + 3y + 6 = (x + 3)(y + 2)